Exercice 1.

1) Produits matriciels :

A faire avec la calculette

( 1     2       1 )                                          ( 1         4         2 )

A²   ( 0      1       0 )                   et      A^3     ( 0         1         0 )

( 1      3       2 )                                          ( 2          6         3 )

2) Vérification

( 1         4         2 )                  ( 1     2       1 )

( 0         1         0 ) =    2 *      ( 0      1       0 )   -     I

( 2          6         3 )                  ( 1      3       2 )

Donc

( 1         4         2 )       ( 2     4       2  )            (1        0         0 )

( 0         1         0 ) =    ( 0      2       0 )   -      (0        1          0)

( 2          6         3 )       ( 2      6       4 )            (0       0          1 )

Et voila le travail !

( 1         4         2 )

A3 =  ( 0         1         0 )

( 2          6         3 )

Exercice 2.

1 ) 

A     B       C

A ( 0     1       1 )        De A –> A = NON  , A –>B = OUI , A –>C = OUI

A =      B ( 0      1      0 )        De B –> A = NON , B –> B = OUI , B –> C = NON

C ( 1      1       1 )        De C –> A = OUI,  C –> B = OUI,  C –> C = OUI

1) Donc le schema

G =         

2) Il y a 19 circuits de longueur 5 allant de C vers B.

3) A VOIR

Exercice 3

1)

C(10) = 4*10+9 – 20 ln(0.2*10+1) = 27€.

C(20) = 4*20+9 – 20 ln(0.2*20+1) = 57€.

2)

ln(0,2x+1)

u(x)=0,2x+1

u’(x)=(0,2)

donc f’(x) = 4x – 0,2/0,2x+1

donc 0,8x/0,2x+1

b(x) = -x-9+20 ln(0,2x+1)
b’(x)= -1+20*0,2*1/(0,2x+1)
=      -1+4/(0,2x+1)
=     (-0,2x-1+4)/(0,2x+1)
=     (-0,2x+3)/(0,2x+1)

ff

1= OSEF

2) -1 -ln(0,2x + 1)

U = 0,2x + 1

U’ = 0,2

F(x) = 0,2 / 0,2x + 1

b(x) = -1 – 0,2 / 0,2x + 1

Exercice 1

On considère un graphe à quatre sommets A, B, C, D, dont la matrice d’adjacence est :

Question 1
Le sommet C est de niveau :
a) 0                     b) 1                     c) 2                     d) 3

Le niveau de C, c’est la longueur du plus long chemin qui arrive en C. Les chemins arrivant en C sont A-C et A-D-C, le plus long est A-D-C et il est de longueur 2, donc le niveau de C est 2.

Question 2
Le nombre total de chemins de longueur 2 est :
a) 2                     b) 3                     c) 4                     d) 5

Compter tous les 1 de la matrice longueur 2

Question 3
Il existe un chemin de longueur 3 allant :
a) de A vers C                     b) de B vers A                     c) de D vers B                  d) de A vers B

Faire la matrice de longueur 3, et simple comme bonjour.

Question 4
Il existe dans ce graphe :
a) un chemin de longueur 4 ;
b) un chemin hamiltonien ;
c) un chemin de longueur 2 arrivant à D ;
d) un circuit.

On rappelle qu’un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet du graphe

Question 5
Pour obtenir la fermeture transitive de ce graphe, le nombre d’arcs à rajouter est :
a) 1                     b) 3                     c) 4                     d) 9

Exercice 2

Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques assemblés dans deux ateliers numérotés 1 et 2.
L’atelier 1 fournit 80 % de la production et l’atelier 2 fournit les 20 % restants. On a remarqué que 1,5 % des composants issus de l’atelier 1 sont défectueux, et que 4 % des composants issus de l’atelier 2 sont défectueux.
Partie A

On prend au hasard un composant dans la production d’une journée et on considère les événements suivants :
- événement A : « le composant provient de l’atelier 1 » ;
- événement B : « le composant provient de l’atelier 2 » ;
- événement D : « le composant est défectueux ».

1. Déduire de l’énoncé les probabilités P(A) et P(B) , ainsi que les probabilités conditionnelles Pa(D) et Pb (D) .

P(A) = 0,8 et P(B) = 0,2

Pa(D) = 0,015 et Pb(D) = 0.04
2. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré ou d’un tableau à double entrée.

AJOUT SHEMA CORR
3. Calculer la probabilité de l’événement D.

Inter = ET

P(A inter B) = si independant

P(A U B) = P(A)+P(B)- P(AinterB)

Union = OU

P(A inter B) = 0.8 * 0,2 = 16%

4. On constate qu’un composant est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu’il provienne de l’atelier 1 ?

Pd(A) = P(d Inter A) / P(d)  =

VOIR COURS
Dans la suite, on supposera que 2 % des composants produits par l’entreprise sont défectueux.

Partie B

Dans cette partie, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au millième.

Un client commande un lot de 150 composants.
On assimile le choix des 150 composants à des tirages successifs avec remise.
On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de composants défectueux que contient ce lot.
1. Justifier le fait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale, et donner les paramètres de cette loi.

Le choix de chaque composant est assimilé à une expérience de Bernoulli, le succès étant lui même assimilé à l’obtention d’un composant défectueux (probabilité 0,02). On répète cette expérience 150 fois, donc X suit la loi binomiale de paramètres n =150 et p = 0,02

2. Donner l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire X

Esperence :

E(X ) = np. = 150*0.02 =3

Ecart type :

EcartType (X ) = Racine de npq = racine de 150*0.02*0.98 =  1,715

Rappel Q=1-P

3. Calculer la probabilité d’avoir exactement 4 composants défectueux dans le lot. (Arrondir le résultat au millième.)

P(x=4) = nCr(n,p) * p^4 * q^n – p

P(x=4) = nCr(150,4) * 0.02^4 * 0.98^146 = 0,170

4. On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par la loi d’une variable aléatoire Y qui suit la loi de Poisson de paramètre 3.

a) Justifier cette valeur du paramètre.

Le paramètre est égale à l’espérance de Y qui doit être égale à celle de X. D’où le choix.

b) Déterminer, avec la précision permise par les tables, la probabilité d’avoir strictement plus de 4 composants défectueux dans le lot.

Partie C

Une société d’import-export commande un lot de 1500 composants. On assimile le choix des 1500 composants à des tirages successifs avec remise.
La variable aléatoire qui comptabilise le nombre de composants défectueux dans ce lot, suit une loi binomiale. On admet que la loi de cette variable aléatoire peut être approchée par la loi d’une variable aléatoire Z qui suit la loi normale de moyenne 30 et d’écart-type 5,42.

1. Justifier le choix des paramètres de la loi normale.
2. Donner une approximation de la probabilité d’avoir au plus 20 composants défectueux dans un lot, en calculant P(Z ≤ 20,5) .
3. Calculer P(24,5 ≤ Z ≤ 35,5) avec la précision permise par les tables. En tenant compte de la correction de continuité, donner une interprétation du résultat en termes de composants défectueux.

Exercice 3

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans cette partie, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
Une entreprise fabrique un nouveau modèle d’appareils avec port USB. Le coût de fabrication de chaque appareil est de 10 euros. L’entreprise envisage de vendre chaque appareil entre 15 euros et 40 euros l’unité.
Avant la commercialisation l’entreprise effectue une étude de marché afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de vente. L’étude a donné les résultats qui sont récapitulés dans le tableau suivant.

On lit par exemple : pour un prix unitaire de 25 euros, la demande serait de 16 300 unités.

  Reproduire et compléter le tableau suivant

b)     À    l’aide de la calculatrice, donner le coefficient de corrélation linéaire de la série(x_i , z_i ) .

c)      Donner une équation de la droite de régression dez en x sous la forme z = ax + b , où les coefficients a et b seront arrondis au dixième.